数学类专业教学指导委员会委员 邓少强关于数学类专业基础数学课程改革的设想

目前，有一种似是而非的观点，认为我国高等教育教学质量近年来有逐步下滑的趋势。对于这种观点，我们要分两方面来看。一方面，随着越来越多新兴学科和交叉学科的兴起，高校新增了很多新专业。这些新专业因为就业前景好，对高考学生的吸引力非常大，因此吸引了大批优秀的学生。但是，新增专业师资力量往往不够强，而且教师对教学规律的探索需要一个过程，因此导致教学质量暂时上不去。另一方面，由于大量优秀学生的流失，传统的基础学科专业，如数学、物理、化学等理科专业，学生的质量确实有一定程度的降低，不如20年前或10年前优秀。这导致了社会对高校教学质量的评价下降，甚至认为高校师资力量也在减弱。其真实情况是，高校在这些传统专业方面的师资力量，近20年来无疑有很大的提高。

但是，上述分析并不能说明我国基础学科在教学质量方面没有问题，不需要改革和提高了。实际情况是，我国高校教学质量与欧美著名大学相比，差距依然非常大。下面我从自己比较熟悉的基础数学教学谈谈对这一问题的认识。

众所周知，新中国成立后相当长的一段时间内，高等教育主要是学习和模仿苏联的模式。基础数学教学的主要特点是，注重基础和思维训练，分析类课程开设较多而且有深度和难度，而代数、几何与拓扑类课程相对较少。这一模式一直沿用到20世纪90年代。至今，我国基础数学教学理念、教学方法仍然受到苏联模式的巨大影响。

不可否认，上述模式在培养我国基础数学人才中发挥了非常积极的作用。从50年代开始，我国涌现出了一批优秀的数学家，他们不但自己做出了举世瞩目的研究成果，同时为我国培养了大批数学方面的研究人员。但是，随着时间的流逝，数学学科本身已经发生了重大的结构性改变。当今的数学，代数学、几何与拓扑的地位越来越重要，而且各数学分支之间的联系愈来愈紧密，越来越表现出数学的统一性。在这种新形势下，如果不对旧的教学模式进行重大改革，将无法适应数学发展的形势，教学质量自然就无法提高。为此，本人提出以下建议。

首先，我国高校本科基础数学教学必须在课程结构方面做重大改革。目前，我国本科基础数学分析类课程主要包括“数学分析”（三学期）、“实变函数”、“复变函数”、“泛函分析”、“常微分方程”、“数学物理方程”。此外，大部分高校还会开设进一步的选修课，如“向量值函数”、“拓扑线性空间”等。这样算起来，分析类课程就更多了。比较而言，代数、几何与拓扑类课程要少得多。大部分高校代数课程一般只有两门，即“高等代数”（一般包括解析几何，两学期）和“抽象代数”（大部分高校一学期，少数高校两学期）。拓扑类课程一般只开设一学期，大部分高校只讲授点集拓扑的基础知识，只有少数高校讲授代数拓扑。而几何类课程中原来的“解析几何”被纳入“高等代数”后，就只剩下“微分几何”一门课程，主要讲授平面和空间曲线以及空间曲面的基本性质。

由此可见，我国高校基础数学课程设置极其不平衡，非常令人担忧。一是绝大部分高校本科数学专业的毕业生，从来没有学过流形的任何知识。陈省身先生在他的著作《微分几何讲义》序言中有一个非常引人注目的话：“将来数学研究的对象，必定是流形”。如果我们主攻基础数学的大学毕业生，包括很多重点大学的学生，根本不知道流形的概念，无论如何也不能不说是一个重大的缺陷。二是李理论，主要是李群、李代数的理论，被认为是现代数学的核心内容之一，但是我国绝大部分高校，由于各种原因，从来没有给本科生开设过李理论方面的任何课程。部分高校（如南开大学等）虽然开设了选修课“李代数”，但是据本人所知，从来没有给本科生开设过“李群”这一课程。

造成以上局面的原因是多方面的。我们不可能也不希望所有高校主攻基础数学的本科生都能接触到像流形、李群这么深奥的数学理论，而且部分高校的师资力量也不允许这么做。但是，代表我国最高水平的少数著名高校，如“985工程”大学，应该开设这样的课程。

我们还可以分析一下开设这样课程的可能性。将传统开设的分析类课程取消或大幅缩减课时是不可能的，而且也不合理。因为分析类课程在训练学生思维以及科研能力方面的作用是无法忽视的。那么，能否考虑增加一些代数、几何和拓扑类课程呢？我认为这是完全可能的。以南开大学为例，虽然现在采用的是学分制，但根据对毕业学生所修课程的调查，数学基地班学生在数学专业类课程，甚至包括选修课，所修课程几乎完全一样。学生反映，为了修够毕业所需学分，基本上要将开设的所有基础数学课程全部选上，无论是专业必修课还是专业选修课。这样一来，选修课其实也就变成了必修课。显然，造成这种现象的原因是开设的课程太少，学生没有选择余地。因此，多开设一些课程的空间是非常大的。

根据上述情况，我建议调整一下高校主攻基础数学（如数学基地班）班级的课程开设计划。在分析类课程基本不动的前提下，二年级开设一年“抽象代数”。三年级因为没有了英语课，每学期可以开设三门数学专业课，例如每学期一门分析类课程。三年级上学期同时开设“拓扑学”和“微分几何”，下学期开设“流形论基础”（课名待定）和“李代数”（或其他代数类课程）。四年级可以多开设一些选修课，如“李群”、“交换代数”、“有限群”等。我认为，这一课程开设计划是有很大的可行性的。(信息来源：全国高等学校教学研究中心网)